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学案练习 数学人教版选修2-1 第三章 空间向量

来源:未知 编辑:admin 时间:2019-08-17
导读: §3.1.1空间向量及其运算 (2)方向相反的两个向量是相反向量; (3)若a、b满足a?b且a、b同向,则 ?????? 学习目标 1. 理解空间向量的概念,掌握其表示方法; 2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律; 3. 能用空间向量的运算意义及运

§3.1.1空间向量及其运算

(2)方向相反的两个向量是相反向量;

(3)若a、b满足a?b且a、b同向,则

?????? 学习目标 1. 理解空间向量的概念,掌握其表示方法;

2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律;

3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题.

?a?b;

???(4)零向量没有方向;

(5)对于任何向量a、b,必有a?b?a?b 其中正确命题的序号为( )

A.(1)(2)(3) B.(5) C.(3)(5) D.(1)(5) 变:1?#21512;?#21015;命题中正确的个数是( )

???? 自我评价 复习1:平面向量基本概念:

具有 和 的量叫向量, 叫向量的????模(或长度); 叫零向量,记(1)如果a、b是两个单位向量,则a?b 着 ; 叫单位向量.

?(叫相反向量, a的相反向量记着 . 2 )两个空间向量相等,则他们的起点相同,终 点也相同; 叫相等向量. 向量的表示方法

有 , , (3)若a、b,c为任意向量,则(a+b)+c=

和 共三种方法. ???a+(b+c) 复习2:平面向量有加减以及数乘向量运算:

(4)空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面1. 向量的加法?#22270;?#27861;的运算法则有 内 法则 和 法则.

A.1 B.2 C.3 D.4 2. 实数与向量的积:

??实数λ与向量a的积是一个 量,记作 ,其

变式2:给出下列命题:①若空间向量a、b满足

长度和方向规定如下:

???? (1)|λa|= . ,则a=b;②在正?#25945;錫?b (2)当λ>0时,λa与A. ;

??当λ<0时,λa与A. ;

ABCD?A1B1C1D1中,必有AC?A1C1; 当λ=0时,λa= .

???????3. 向量加法和数乘向量,以下运算律成立吗? ③若空间向量m、n、p满足m=n,n=p,则

加法交换律:a+b=b+a ??加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) m=p;④空间中任意两个单位向量必相等. 数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb 其中假命题的个数是( ) 新课:(1)在空间,把具有 和 的量叫A.1 B.2 C.3 D.4 做空间向量 类型二 空间向量的线性运算 (2)向量的 叫做向量的长度(或模) 例2 已知平行六面体ABCD?A'B'C'D'(如图),(3)空间向量用 表示,有向线段的 化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量:

?????????就是空间向量的长度

⑴AB?BC;(4)空间向量可用一个 表示,如 ??????????????⑵AB?AD?AA';其模记为 ,也可用有向线段的

?????????1?????表示如 其模记为 ⑶AB?AD?CC'

2(5) 叫零向量,记着 ; 叫单位向量. 叫相反向量, a的

相反向量记着 . 叫相等向量.

(6)加法运算 减法运算

加法交换律 加法结合律

?⑷??????1???????? (AB?AD?AA').2??????

变式:在上图中,用

????????????'AB,AD,AA?????和DB'.

表示

??????????''AC,BD典型例题

类型一空间向量及有关概念

例1 下?#24418;?#20010;命题:(1)所有的单位向量都相等;

67

变式2.如图所示的是平行

六面体ABCD—A1B1C1D1,化简下列各式.

→→→→→→(1)AB+AD+AA1;(2)DD1-AB+BC. 例3化简下列各式:

????????????⑴ AB?BC?CA; ⑵AB?MB?BO?OM;

????????????????????????????⑶AB?AC?BD?CD; ⑷ OA?OD?DC.

??????????????????C. 如果两个向量不相同,那么它们的长度不相等

D. 同向且等长的有向线段表示同一向量

6. 如图,平行六面体ABCD?A1B1C1D1中,点M为

??????????AC与的BD的交点,AB?a,AD?b?????则下列向量中与B1M相等的是( )

1?1??A. ?a?b?c

221?1??B. a?b?c

221?1??C. a?b?c

221?1??D. ?a?b?c

22?????,A1A?c,

变式1:化简下列各式:

????????????????(1) OA?OC?BO?CO;

????????????(2) AB?AD?DC;

?????????????????(3)NQ?QP?MN?MP.

7.下列命题是真命题的是( )

A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量不是共面向量

????

变式2:在正?#25945;錋BCD?A1B1C1D1中,下列各

?B.若非零向量a、b方向相反,则a与b是相反向量

?????C.若向量AB、CD满足AB?CD,则AB与

?式的运算结果为向量AC1的是( )

?????CD同向,且AB?CD

??(1)(AB?BC)?CC1;

??????D.若两个非零向量AB与CD满足AB+CD=0,

??(2) (AA1?A1D1)?D1C1;

???(3) (AB?BB1)?B1C1

???则AB与CD为相反向量 8.下列命题正确的有( )

(1)若|a|=|b|,则a=b;

→→

(2)若A,B,C,D是不共线的四点,则AB=DC是四边形ABCD是平行四边形的充要条件;

(3)若a=b,b=c,则a=c;

?|a|=|b|,?

(4)向量a,b相等的充要条件是?

?a∥b;?

(4) (AA1?A1B1)?B1C1

课后作业 1. 下列说法中正确的是( )

????A. 若∣a∣=∣b∣,则a,b的长度相同,方向相反或相同;

????B. 若a与b是相反向量,则∣a∣=∣b∣; C. 空间向量的减法满足结合律;

D. 在四边形ABCD中,一定有AB?AD?AC. 2. 长?#25945;錋BCD?A'B'C'D'中,化简

????????????

????????????????'''AA'?A?B= A D

?????????3. 已知向量a,b是两个非零向量,a0,b0是与a,?b同方向的单位向量,那么下列各式正确的是( )

??????????????????A. a0?b0 B. a0?b0或a0??b0

?????C. a0?1 D. ∣a0∣=∣b0∣

????????????4. 在四边形ABCD中,若AC?AB?AD,则四边形

是( )

A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 5. 下列说法正确的是( ) A. 零向量没有方向

B. 空间向量不可以平行移动

68

(5)|a|=|b|是向量a=b的必要不充分条件; →→

(6)AB=CD的充要条件是A与C重合,B与D重合.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

→→→→

9.已知空间向量AB,BC,CD,AD,则下列结论正确的是( )

→→→→→→→A.AB=BC+CD B.AB-DC+BC=AD →→→→→→→C.AD=AB+BC+DC D. BC=BD-DC

10.两个非零向量的模相等是这两个向量相等的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 11.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC

→→→

与BD的交点,若A1B1=a,A1D1=b,A1A=c,则

下列向量中与B1M相等的向量是( )

1111

A.-a+b+c B.a+b+c

22221111

C.a-b+c D.-a-b+c 222212.给出下列命题:

①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点,则它们的终点构成一个圆;

②若空间向量a、b满足|a|=|b|,则a=b;

③若空间向量m、n、p满足m=n,n=p,则m=p;④空间中任意两个单位向量必相等; ⑤零向量没有方向.

其中假命题的个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4

13.空间四边形ABCD中,若E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点,则下列各式中成立的是( )

→→→→

A.EB+BF+EH+GH=0 →→→→B.EB+FC+EH+GE=0 →→→→C.EF+FG+EH+GH=0 →→→→D.EF-FB+CG+GH=0 二、填空题

→→

14.在直三棱柱ABC—A1B1C1中,若CA=a,CB=

→→

b,CC1=c,则A1B=________. 15.已知空间四边形ABCD,连结AC、BD,设M、N分别是

→→

BC、CD的中点,则MN用AB、→→

AC、AD表示的结果为______________________.

16.已知平行六面体ABCD—A′B′C′D′,则

→→→

下列四式中:①AB-CB=AC;

→→→→②AC′=AB+B′C′+CC′;

→→→→→→→③AA′=CC′;④AB+BB′+BC+C′C=AC′. 正确的是________. 三、解答题

17.如图所示的是平行六面体ABCD—A′B′C′D′,化简下列各式.

§3.1.2 空间向量的数乘运算(一)

学习目标 1. 掌握空间向量的数乘运算律,能进行简单的代数式化简;

2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论;

3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题. 自我评价 1. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ,则这些向量叫共线向量,也叫平行向量. 2. 空间向量共线:

??????定理:对空间任意两个向量a,b(b?0), a//b的

充要条件是存在唯一实数?,使得 推论:如图,l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线,对空间的任意一点O,点P在直

线l上的充要条件是

典型例题

例1 已知直线AB,点O是直线AB外一点,若????????????且x+y=1,试判断A,B,P三点是OP?xOA?yOB,

否共线?

变式:已知A,B,P三点共线,点O是直线AB外一点,若OP???????????1???OA?tOB2?,那么t=

变式2:设e1、e2是空间两个不共线的向量,已知

??????AB??e1??ke2?,BC?5e1+4e2,

DC??e1?2e2,且A,B,D三点共线,求实数k

→→→→→(1)AB+BB′-D′A′+D′D-BC; →→→→(2)AC′-AC+AD-AA′.

69

的值.

例2 已知平行六面体ABCD?A'B'C'D',点M是棱AA'的中点,点G在对角线A'C上,且CG:GA

'????=2:1,设CD?=a???????????',CB?b,CC?c,试用向量

????????????????????'a,b,c表示向量CA,CA,CM,CG.

变式1:四棱锥P?OABC的底面为一矩形,设

?????? 课后作业: 1. 下列说法正确的是( )

??????A.a与非零向量b共线,b与c共线,则a与c共线 B. 任意两个相等向量不一定共线 C. 任意两个共线向量相等 D. 若向量a与b共线,则a??b

????????2. 已知a?3m?2n,b?(x?1)m?8n,a?0,若

??a//b,求实数x.

????OA?a,OC?b,OP?c,E,F分别是PC

???????和PB的中点,用a、b,c表示BF,BE,EF,AE

例3:已知正四棱锥P?ABCD ,O是正方形ABCD的中?#27169;琎是CD的中点,求下列各式中x,y,z的值.

???→→

3.设M是△ABC的重?#27169;?#35760;a=BC,b=CA,c→→

=AB,a+b+c=0,则AM为( )

b-cc-bb-cc-bA. B. C. D.

2233

4.如图所示,已知A,B,C三点不共线,P为一定点,O为平面ABC外任一点,则下列能表示向量→

OP的为( )

(1)OQ?PQ?yPC?zPA;

????(2)PA?xPO?yPQ?PD

变式1:本例中的条件不变,若

????PO?xBA?yBC?zBP,试求x,y,z的值.

变式2:设O是平行四边形ABCD所在平面外任意一点,E为OC的中点,若

?AE?12???OD?xOB?yOA,求x,y的值.

70

→→→→→→A.OA+2AB+2AC B.OA-3AB-2AC →→→→→→C.OA+3AB-2AC D.OA+2AB-3AC

5.已知正?#25945;錋BCD-A′B′C′D′ ,点E是

1

A′C′的中点,点F是AE的三等分点,且AF=

2

EF,则AF等于( )

1→1→1→1→1→→

A.AA′+AB+AD B.AA′+AB+AD

22222

1→1→1→1→1→1→C.AA′+AB+AD D.AA′+AB+AD 2663666.如图所示,空间四边形

→→→

OABC中,OA=a,OB=b,OC

=c, 点M在OA上,且OM=→→2MA,N为BC中点,则MN等于( ) 121211A.a-b+c B.- a+b+c 232322112221C.a+ b-c D.a+b-c 223332

7.在三棱锥S—ABC中,G为△ABC的重?#27169;?#21017;有( )

→1→→→→1→→→A.SG=(SA+SB+SC) B.SG=(SA+SB+SC)

23

→1→→→→→→→C.SG=(SA+SB+SC) D.SG=SA+SB+SC

4

8.有下列命题:①当λ∈R,且a1+a2+?+an=0时,λa1+λa2+?+λan=0;

②当λ1,λ2,?,λn∈R,且λ1+λ2+?+λn=0时,λ1a+λ2a+?+λna=0;

③当λ1,λ2,?,λn∈R,且λ1+λ2+?+λn=0时,a1,a2,?,an是n个向量,且a1+a2+?,an=0,则λ1a1+λ2a2+?+λnan=0. 其中真命题有( )

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 9. 已知平行六面体ABCD?A'B'C'D',M是AC与BD交点,若

等的向量是( ) A. ?a?C.

1????????????????'AB?a,AD?b,AA?c→→→→(3)GF=xBB′+yBA+zBC.

§3.1.2 空间向量的数乘运算(二)

学习目标 1. 掌握空间向量的数乘运算律,能进行简单的代数式化简;

2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论;

3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题.

?????,则与B'M相

1??1?1??; B. b?ca?b?c;

22221?1??1?1??a?b?c; D. ?a?b?c. 2222 自我评价 1.共面向量: 同一平面的向量.

2. 空间向量共面:

????定理:对空间两个不共线向量a,b,向量p与向量

??a,b共面的充要条件是存在 ,

10.如图所示,已知矩形ABCD,P为平面ABCD

外一点,且PA⊥平面ABCD,M、N分别为PC、PD上的点,且PM∶MC=2∶1,N为PD中点,

→→→→

则满足MN=xAB+yAD+zAP的实数x=________,y=________,z=________.

使得 .

推论:空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是:

⑴ 存在 ,使

⑵ 对空间任意一点O,有

典型例题 例1 下列等式中,使M,A,B,C四点共面的个数是( )

11.在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中,若

????AC1?xAB?2yBC?3zC1C,

则x?y?z?________.

??????????????????OM?OA?OB?OC; ①?????1????1????1?????②OM?OA?OB?OC;

532????????????????????????????????③MA?MB?MC?0;④OM?OA?OB?OC?0.

12. 正?#25945;錋BCD?A'B'C'D'中,点E是上底面

????????????????''A'B'C'D'的中?#27169;?#33509;BB?xAD?yAB?zAAA. 1 B. 2 C. 3 D. 4

变式:已知A,B,C三点不共线,O为平面ABC外一

????1????7????????点,若向量OP?OA?OB??OC???R?,

53,

则x= ,y= ,z= .

13. 若点P是线段AB的中点,点O在直线AB外,则OP? OA + OB. 14. 平行六面体ABCD?A'B'C'D', O为A1C与B1D的交点,则(AB?AD?AA')? AO

3?1???????????????????????????15.如图,已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′,

点E在AC′上,且AE∶EC′=1∶2,点F,G分别是B′D′和BD′的中点,求下列各式中的x,y,z的值. →→→→(1)AE=xAA′+yAB+zAD; →→→→(2)BF=xBB′+yBA+zBC;

71

则P,A,B,C四点共面的条件是??

例2 如图,已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,,F,G,H,并且使

OEOA?OFOB?OGOC?OHOD?k,

求证:E,F,G,H四点共面.

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